数论倒数，又称逆元
之所以引入逆元，是因为在求余的时候会有一些不可避免的错误
如：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p        (√)
(a – b) % p = (a % p – b % p) % p        (√)
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p        (√)
(a / b) % p = (a % p / b % p) % p        (×)
 
很多人也许会疑惑，为什么除法不对，其他的对
这里我们用反证法来证明：
(50 / 25) % 5 = 2       ≠         ( (50 % 5) / (25 % 5) ) % 5 = 0
所以，我们要求逆元来使得除法取模变得“合法”。
如果我们求a/x = 1 (mod p)
可以通过求x的逆元，也就是x在mod p 的意义下的数论倒数
来求a/inv(x) = 1 (mod p)
这里inv(x) 表示的就是x的逆元，也叫x关于p的逆元
那么(a  /  x) % p = (a * inv(x) ) % p = (a % p * inv(x) % p) % p
由除法转化为了乘法
PS：逆元存在的条件一定是当x与p互质
 
关于逆元的求法有很多，大致上有三种做法
方法一：费马小定理 （仅当p为质数的时候）
a^(p-1) ≡1 (mod p)
两边同除以a
a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)
我们需要用到快速幂  复杂度O(logn)

LL pow_mod (LL a, LL b, LL p)
{
    LL ret = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ret = (ret * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL Fermat (LL a, LL p)
{
    return pow_mod(a, p - 2, p);
}

 
 
方法二：扩展欧几里得（不好意思，我不会。。。抄的别人的额）
要用扩展欧几里德算法
还记得扩展欧几里德吗？（不记得的话，欧几里得会伤心的(╭￣3￣)╭♡）
 
a*x + b*y = 1
如果ab互质，有解
 
这个解的x就是a关于b的逆元
y就是b关于a的逆元
为什么呢？
 
你看，两边同时求余b
 
a*x % b + b*y % b = 1 % b
a*x % b = 1 % b
a*x = 1 (mod b)
 
你看你看，出现了！！！(/≥▽≤/)
所以x是a关于b的逆元
反之可证明y

#include<cstdio>
typedef long long LL;
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
int main(){
    LL a, p;
    while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
        printf("%lld\n", inv(a, p));
    }
}

 
 
方法三：   复杂度O(n)
当p是个质数的时候有
inv(a) = (p – p / a) * inv(p % a) % p
这为啥是对的咩？
证明不想看的孩子可以跳过。。。（￣0 ￣）
证明：
设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p – y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p – p / a) * inv(p % a) % p
然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1
递归：

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}
int main(){
    LL a, p;
    while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
        printf("%lld\n", inv(a%p, p));
    }
}

递推：

#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[N];
int init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
}
int main(){
    init();
}