poj 1006 Biorhythms 中国剩余定理
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366
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poj题解,中国剩余定理,数论,算法
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Dewct

1378 字
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6 分钟

Biorhythms

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Description

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

Input

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。
当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

Output

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。
采用以下格式：
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.
注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。

Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

试题分析：

对于这道题，我们发现，其实答案就是对于23， 28，33这三个数求它的峰值的最公倍数。但怎么求呢，因为这三个周期不同，所以无法直接求其最小公倍数，但我们发现答案n一定满足（n%23 == p  && n%28 == e && n%33 == i)那么这时就需要用到中国剩余定理了。

中国剩余定理：

我们先来说一个故事：
传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人，后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2），由于已经知道士兵总人数在2300~2400之间，所以韩信根据23，128，233，——，每相邻两数的间隔是105（3、5、7的最小公倍数），便立即说出实际人数应是2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官十分敬佩，这就是韩信点兵的故事。
韩信点兵问题简化：已知 n%3=2,  n%5=3,  n%7=2,  求n。
再看我们这道题，读入p,e,i,d 4个整数
已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i ,求n 。
两道题是一样的。但是韩信当时计算出结果的？
韩信用的就是“中国剩余定理”，《孙子算经》中早有计算方法，大家可以查阅相关资料。
“韩信点兵”问题计算如下：
因为n%3=2, n%5=3, n%7=2 且 3，5，7互质 （互质可以直接得到这三个数的最小公倍数）
令x= n%3=2 ， y= n%5=3 ，z= n%7=2
使5×7×a被3除余1，有35×2=70，即a=2；
使3×7×b被5除余1，用21×1=21，即b=1；
使3×5×c被7除余1，用15×1=15，即c=1。
那么n =（70×x+21×y+15×z）%lcm(3,5,7) = 23 这是n的最小解
而韩信已知士兵人数在2300~2400之间，所以只需要n+i×lcm(3,5,7)就得到了2333，此时i=22
同样，这道题的解法就是：
已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i
使33×28×a被23除余1，用33×28×8=5544；
使23×33×b被28除余1，用23×33×19=14421；
使23×28×c被33除余1，用23×28×2=1288。
因此有（5544×p+14421×e+1288×i）% lcm(23,28,33) =n+d
又23、28、33互质，即lcm(23,28,33)= 21252;
所以有n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%21252
本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为n= [n+21252]% 21252
那么最终求解n的表达式就是：
n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
	if(b == 0)
		return a;
	else
		return gcd(b, a%b);
}
int main()
{
	int t, q, z, s, tot = 0;
	while(scanf("%d%d%d%d", &t, &q, &z, &s) != EOF)
	{
		tot++;
		if(t == -1 && q == -1 && z == -1 && s == -1)
			break;
		int ss = 21252;
		int n = (1288*z + 14421*q + 5544*t + 21252 - s)%ss;
		if(n == 0)
			n = 21252;
		printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", tot, n);
	}
	return 0;
}

 

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